余弦定理

余弦定理是勾股定理的一般化：两边及其夹角决定第三边。它把解三角形从直角三角形扩展到任意三角形，是已知两边一夹角或三边时求边角的基本工具，也是向量内积与坐标距离公式的几何来源。

需先掌握三角函数（$\cos$ 的定义与符号）与勾股定理（$C=90^\circ$ 时的退化情形）。

定理

在 $\triangle ABC$ 中，设角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，则

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

同理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。

性质

• 退化：当 $C=90^\circ$ 时 $\cos C=0$，即 $c^2=a^2+b^2$，回到勾股定理
• 判角：$c^2=a^2+b^2$ 时为直角；$c^2>a^2+b^2$ 时为钝角；$c^2<a^2+b^2$ 时为锐角
• 变形：$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，可用于已知三边求角

示例

已知 $a=5$，$b=7$，$C=60^\circ$，则

$$c^2=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot\cos60^\circ=74-35=39,\qquad c=\sqrt{39}$$

应用

• 解三角形：已知两边一夹角求第三边，或已知三边求角
• 向量模长：$\lVert\vec{u}+\vec{v}\rVert^2=\lVert\vec{u}\rVert^2+\lVert\vec{v}\rVert^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}$ 即余弦定理的向量形式（见向量）
• 与正弦定理配合：正弦定理处理两角一边与边角互化，余弦定理处理两边一夹角与三边
• 学习路径：勾股定理 → 余弦定理 → 正弦定理（两解判定）→ 解析几何与三角学