三角形五心

三角形的五心是五类由三角形唯一确定的特殊点：重心、外心、内心、垂心与旁心。它们分别是中线、垂直平分线、角平分线、高相交的产物，把三角形与圆（外接圆、内切圆、旁切圆）和正弦定理（外接圆半径）联系起来，是几何证明与作图的核心工具。

需先掌握三角形的基本概念、圆（外接圆与内切圆）、角平分线定理（内心的基础），并了解正弦定理 $a=2R\sin A$ 给出的外接圆半径。

重心（centroid）$G$

三条中线的交点，恒在三角形内部。重心把每条中线按 $2:1$ 分（顶点到重心 : 重心到对边中点 $=2:1$）；坐标是三个顶点坐标的算术平均；重心与三个顶点连线把三角形分成三个面积相等的小三角形。

外心（circumcenter）$O$

三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，是外接圆圆心。锐角三角形外心在形内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在形外。半径 $R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{abc}{4S}$（$S$ 为面积），与正弦定理互为表里。

内心（incenter）$I$

三条内角平分线的交点，到三边距离相等，是内切圆圆心，恒在三角形内部。内切圆半径 $r=\dfrac{S}{s}$（$S$ 为面积，$s=\dfrac{a+b+c}{2}$ 为半周长）。

垂心（orthocenter）$H$

三条高的交点。锐角三角形垂心在形内，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在形外。

旁心（excenter）

一个内角平分线与另外两个外角平分线的交点，是旁切圆圆心，到三边所在直线距离相等。三角形共有 $3$ 个旁心，均位于三角形外部。

欧拉线

外心 $O$、重心 $G$、垂心 $H$ 共线，且 $OG:GH=1:2$。等腰三角形中四心（重心/外心/内心/垂心）同在对称轴上；等边三角形中五心重合为一点。

示例

• 直角三角形斜边中点到三个顶点距离相等（外心在斜边中点），斜边中线长等于斜边一半
• 等边三角形中重心、外心、内心、垂心合一，该点同时是外接圆与内切圆圆心

应用

• 共点性证明：五心的存在本身就是三类特殊直线共点的结论，更一般的共点问题可用梅涅劳斯定理与塞瓦定理验证
• 物理重心：均匀三角形薄板的重心即几何重心
• 圆与度量：外接圆、内切圆、旁切圆半径公式把三角形边角与面积联系起来
• 学习路径：三角形五心 → 圆（外接圆/内切圆）→ 正弦定理与余弦定理（解三角形）