正弦定理

正弦定理把三角形的边、角与外接圆半径统一为同一个比例，是"已知两角一边或两边一对角"解三角形的基本工具，也是任意多边形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 与边角互化的基础。

需先掌握三角函数（锐角三角比与弧度制）与圆（圆周角定理：同弧所对圆周角相等）。

定理

在 $\triangle ABC$ 中，设角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，外接圆半径为 $R$，则

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

证明思路

作 $\triangle ABC$ 的外接圆，取直径 $BD=2R$。由圆周角定理，$\angle BCD=90^\circ$；$\angle BDC$ 与 $\angle BAC$ 对同一条弦 $BC$，两者相等或互补，正弦值相同，故 $\sin\angle BDC=\sin A$。于是 $a=|BC|=2R\sin\angle BDC=2R\sin A$。同理 $b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$。

推论

• 边角互化：$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$
• 面积：$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C=2R^2\sin A\sin B\sin C$
• 已知两边与一对角（SSA）时可能有两解：$\sin$ 值在 $(0,\pi)$ 内对应两个角，需结合边的大小判断

示例

已知 $A=30^\circ$，$B=45^\circ$，$a=10$，则

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=10\cdot\frac{\sqrt2/2}{1/2}=10\sqrt2\approx 14.14$$

应用

• 解三角形：已知两角一边求其余边角
• 测量：隔河测距等不可直接测量的距离，通过三角形边角关系计算
• 与圆的关系：外接圆半径 $R$ 由圆给出，三角形各边恰为 $2R$ 倍的对应角正弦
• 学习路径：圆（外接圆）→ 正弦定理 → 余弦定理（已知两边一夹角或三边）