角平分线定理

角平分线定理给出三角形内角平分线分割对边的比例：分点把对边分成的两段之比等于夹这个角的两边之比。它是相似三角形比例性质的推论，也是三角形五心中内心与旁心构造的基础。

需先掌握相似三角形的比例性质，以及三角形面积公式（证明用面积法，见任意多边形面积）。

定理

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$ 的平分线交边 $BC$ 于 $D$，则

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$$

证明思路（面积法）

$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 同高（都以 $A$ 到 $BC$ 的距离为高），故 $\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\dfrac{BD}{DC}$。另一方面，$\angle BAD=\angle CAD$，由两边夹一角面积公式 $S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\angle BAD$、$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin\angle CAD$，故 $\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\dfrac{AB}{AC}$。两式联立得 $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$。

外角平分线定理

若 $\angle A$ 的外角平分线交 $BC$ 的延长线于 $D$，则同样有 $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$（此时 $D$ 在延长线上，取有向比）。

逆定理

若点 $D$ 在边 $BC$（或其延长线）上满足 $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$，则 $AD$ 是 $\angle A$ 的内角（或外角）平分线。

示例

$AB=6$，$AC=4$，$BC=10$。设 $\angle A$ 的平分线交 $BC$ 于 $D$，由 $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ 且 $BD+DC=10$，解得 $BD=6$，$DC=4$。

应用

• 内心与旁心：三条内角平分线交于一点，即三角形五心的内心（内切圆圆心）；角平分线定理为各分点比例提供精确值
• 比例线段：与相似三角形配合，证明线段比例、角平分线长度等问题
• 解三角形：结合正弦定理与余弦定理可求角平分线长度
• 学习路径：角平分线定理 → 三角形五心（内心/旁心）→ 梅涅劳斯定理与塞瓦定理（共点性）