全等三角形

全等三角形刻画"大小和形状都完全相同"的图形关系：两个三角形可以完全重合。它是相似三角形相似比 $k=1$ 的特殊情形，也是证明线段相等、角相等最常用的几何工具。

需先掌握三角形的基本概念（边、角、面积）与相似三角形（全等是其退化情形）；HL 判定的推导依赖勾股定理对直角三角形的度量。

定义

若两个三角形的对应边相等且对应角相等，则称它们全等，记作 $\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$（顶点按对应顺序书写）。

判定

• SSS：三边对应相等
• SAS：两边及它们的夹角对应相等
• ASA：两角及它们的夹边对应相等
• AAS：两角及其中一角的对边对应相等
• HL（直角三角形）：斜边与一条直角边对应相等（由勾股定理知另一条直角边也相等，化为 SSS）

SSA 不成立

两边及其中一边的对角对应相等不能判定全等——同一组边角数据可能对应两个不同的三角形（即正弦定理中讨论的 SSA 两解情形）。

性质

• 对应边、对应角相等；对应高、对应中线、对应角平分线相等
• 周长相等、面积相等
• 全等是相似三角形相似比 $k=1$ 的特例：全等 $\Rightarrow$ 相似，反之不成立

示例

已知 $AB=DE=5$、$AC=DF=7$、$\angle A=\angle D=30^\circ$，由 SAS 判定 $\triangle ABC\cong\triangle DEF$，于是对应角 $\angle B=\angle E$、$\angle C=\angle F$，对应边 $BC=EF$。

应用

• 证明线段与角相等：先证包含它们的三角形全等，再由对应元素相等得出结论
• 测量：测不可直接到达的距离（如池塘宽），构造全等三角形把目标长度搬移到可测位置
• 与相似的关系：全等的判定（SSS/SAS/ASA/HL）与相似三角形的判定（SSS/SAS/AA）一一呼应，只是把"成比例"换成"相等"
• 学习路径：全等三角形 → 相似三角形（放缩推广）→ 正弦定理与余弦定理（解三角形）