解三角形

解三角形是从已知的边角数据求出其余边角的过程，是正弦定理与余弦定理的直接应用，也是测绘、导航与力学中"由测量值反推未知量"的基本工具。

需先掌握三角函数的特殊角函数值，以及正弦定理、余弦定理两个基本工具（前者处理"边对角"关系，后者处理"两边及夹角"关系）。

基本依据

对 $\triangle ABC$（角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$），解三角形的全部工具：

• 内角和：$A+B+C=\pi$
• 正弦定理：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
• 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$（及其对 $A,B$ 的轮换式）
• 面积公式：$S=\dfrac12 ab\sin C=\dfrac12 bc\sin A=\dfrac12 ca\sin B$

典型情形

已知	解法
两角一边（ASA/AAS）	内角和求第三角，再用正弦定理求两条边
两边及夹角（SAS）	用余弦定理求第三边，再用正弦或余弦定理求另一角
三边（SSS）	用余弦定理变形 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 求角
两边及其中一边对角（SSA）	需判断解的个数，见下

SSA 可能有两解

已知两边及一边对角时，由正弦定理求出 $\sin A$ 后，$A$ 可能取锐角或钝角：当 $a\sin C<c<a$ 时两解，$c=a\sin C$ 时一解，$c<a\sin C$ 时无解。
例：$a=5$、$c=4$、$C=30^\circ$ 时 $\sin A=\dfrac{5\sin 30^\circ}{4}=0.625$，$A\approx 38.7^\circ$ 或 $141.3^\circ$，对应两个不同的三角形。

示例

已知 $a=7$、$b=10$、$C=60^\circ$（SAS 型）：

• 由余弦定理：$c^2=7^2+10^2-2\cdot 7\cdot 10\cos 60^\circ=79$，$c=\sqrt{79}\approx 8.89$
• 由正弦定理：$\sin A=\dfrac{7\sin 60^\circ}{\sqrt{79}}\approx 0.682$，$A\approx 43^\circ$
• 由内角和：$B=180^\circ-60^\circ-43^\circ=77^\circ$

应用

• 测绘与测量：测不可直接到达的距离，构造三角形由已知边角求目标量
• 导航与天文：由方位角与距离推算位置（三角剖分的思想）
• 力学：力与速度的合成、分解（斜边与分量构成直角三角形）
• 学习路径：解三角形把正弦定理、余弦定理与三角函数贯通为一套完整工具，后续在三角形五心与平面几何综合问题中反复出现