勾股定理

勾股定理是平面几何中最基本的度量关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。它把"直角"这一几何性质转化为代数等式，是距离公式、余弦定理与三角函数恒等式 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 的度量基础。

需先掌握直角三角形的概念与相似三角形（经典证明依赖面积割补或相似比例），并了解三角函数中锐角三角比的定义。

定义

设 $\triangle ABC$ 中 $\angle C=90^\circ$，$a=|BC|$、$b=|CA|$ 为直角边，$c=|AB|$ 为斜边，则

$$a^2+b^2=c^2$$

性质

• 逆定理：若三角形三边满足 $a^2+b^2=c^2$，则 $c$ 所对的角为直角（直角三角形的判定）
• 勾股数组：三边为正整数的解，如 $(3,4,5)$、$(5,12,13)$，其一般参数化见毕达哥拉斯三元组
• 距离公式：平面上两点 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$ 的距离 $|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 即勾股定理的直接应用
• 与三角函数：单位圆上 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 是半径为 $1$ 时的勾股定理
• 推广：余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 在 $C=90^\circ$ 时退化为勾股定理

示例

• 直角边为 $3,4$ 的直角三角形斜边 $c=\sqrt{3^2+4^2}=5$
• 长方体的体对角线 $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$（连续两次使用勾股定理）

应用

• 度量：任意多边形面积中鞋带公式与坐标距离计算都以勾股定理为基础
• 解析几何：向量的模长 $\lVert\vec{u}\rVert=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ 是勾股定理的坐标形式
• 三角学：由勾股定理导出三角恒等式，支撑三角函数的恒等变形
• 学习路径：勾股定理 → 相似三角形 → 圆（圆周角）→ 正弦定理与余弦定理（解三角形）