面积与体积公式

面积与体积公式是度量几何的核心工具：平面图形以三角形面积与圆的扇形公式为基本单元，立体图形则由底面积与高组合而成。它们是--微积分--中定积分几何意义（曲边图形面积、旋转体的体积）的初等起点。

需先掌握勾股定理（求高与斜边）、三角函数（$S=\frac{1}{2}ab\sin C$）与圆（圆周率与扇形公式）。

平面图形面积

• 矩形 $S=ab$；平行四边形 $S=ah$（$h$ 为高）
• 三角形 $S=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$（海伦公式，$s=\frac{a+b+c}{2}$）
• 梯形 $S=\dfrac{1}{2}(a+b)h$
• 菱形 $S=\dfrac{1}{2}d_1d_2$（$d_1,d_2$ 为对角线）
• 圆 $S=\pi r^2$；扇形 $S=\dfrac{1}{2}r^2\theta$（$\theta$ 为弧度）
• 正 $n$ 边形 $S=\dfrac{n a^2}{4\tan(\pi/n)}$（$a$ 为边长），或 $S=\dfrac{n}{2}R^2\sin(2\pi/n)$（$R$ 为外接圆半径）

立体图形表面积与体积

• 棱柱与圆柱：$V=Sh$（$S$ 为底面积）；圆柱侧面积 $2\pi rh$、表面积 $2\pi r^2+2\pi rh$
• 棱锥与圆锥：$V=\dfrac{1}{3}Sh$；圆锥侧面积 $\pi rl$（$l$ 为母线长）
• 球：$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$，表面积 $S=4\pi r^2$

示例

• 两边 $a=3$、$b=4$ 夹角 $C=60^\circ$ 的三角形面积 $S=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3$
• 半径 $r=1$ 的球体积 $\frac{4}{3}\pi\approx 4.19$，表面积 $4\pi\approx 12.57$

应用

• 任意多边形：任意多边形面积的鞋带公式与三角剖分都以三角形面积公式为基本单元
• 旋转体：旋转体的体积是平面面积公式经积分向空间的推广
• 物理与工程：容积、材料用量、圆与球的工程计算
• 学习路径：面积与体积公式 → 任意多边形面积 → 旋转体的体积（微积分）