圆

圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合，是旋转对称性最完全的图形。它把角度（圆心角、圆周角、弧度）与长度（弦、弧、半径）联系起来，任意多边形面积的三角剖分与外接圆、正弦定理中的外接圆半径都以圆为背景。

需先掌握三角函数（弧度制及 $\sin$、$\cos$ 的几何意义）与相似三角形（同弧所对圆周角相等的推理基础）。

定义

到定点 $O$（圆心）距离等于定长 $r$（半径）的点集 $\{P:\ |OP|=r\}$。过圆心的弦称为直径，$d=2r$。

基本元素

• 弦、弧：圆上两点间的线段与曲线部分
• 圆心角：顶点在圆心的角，其弧度数等于所对弧长与半径之比
• 圆周角：顶点在圆上、两边与圆相交的角
• 切线：与圆恰有一个公共点的直线，垂直于过切点的半径

性质

• 垂径定理：垂直于弦的直径平分该弦及其所对的两条弧
• 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角（泰勒斯定理）
• 切线性质：切线垂直于过切点的半径；圆外一点引圆的两条切线长相等
• 弧长与面积：半径为 $r$、圆心角为 $\theta$（弧度）的扇形弧长 $l=r\theta$，面积 $S=\frac{1}{2}r^2\theta$；整圆周长 $C=2\pi r$，面积 $S=\pi r^2$
• 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等

示例

• 以直径为斜边的圆内接三角形必为直角三角形（泰勒斯定理）
• 半径为 $R$ 的圆内接正 $n$ 边形，边长 $=2R\sin(\pi/n)$（等腰三角形顶角为 $2\pi/n$，由 $\sin$ 定义得）

应用

• 外接圆：任意三角形有唯一外接圆，其半径 $R$ 与边、角由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=2R$ 联系
• 面积计算：任意多边形面积可剖分为三角形，也可用外接圆半径统一处理
• 物理与工程：圆周运动与波动由三角函数描述，涉及齿轮、轴承等旋转对称结构
• 学习路径：圆 → 正弦定理与余弦定理（解三角形）→ 解析几何中的圆方程