空间直线

一般式

当两平面法向量不平行时，其交集是一条空间直线, 将两空间平面方程联立

$$\left\{ \begin{aligned} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{aligned} \right.$$

对称式/点向式

根据一点 $M_0$ 与非零方向 $\vec s=(m,n,p)$ 定义；下面分式写法要求对应分母非零，若 $m=0$ 就改写为 $x=x_0$，其余类似。参数式始终适用

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

参数式

根据对称式方程, 设:

$$t=\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

则可以得到

$$\left\{ \begin{aligned} x&=x_0+mt\\ y&=y_0+nt\\ z&=z_0+pt \end{aligned} \right.$$

两直线夹角

定义: 两方向所成的不大于直角的夹角，范围 $[0,\pi/2]$
设直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方向向量分别为 $\vec{\boldsymbol{s_1}} = (m_1, n_1, p_1)$ 和 $\vec{\boldsymbol{s_2}} = (m_2, n_2, p_2)$,
则 $L_1$ 和 $L_2$ 之间的夹角 $\phi$ 由以下公式确定:

$$\cos \phi = \frac{| \vec{\boldsymbol{s_1}} \cdot \vec{\boldsymbol{s_2}} |}{|\vec{\boldsymbol{s_1}}||\vec{\boldsymbol{s_2}}|} = \frac{|m_1 m_2 + n_1 n_2 + p_1 p_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2 + p_1^2} \sqrt{m_2^2 + n_2^2 + p_2^2}}$$

锐角的确定方法

上面的公式已经在点积上取绝对值，故余弦非负，反余弦直接落在 $[0,\pi/2]$；无需再次纠正钝角。

$$\phi_{\text{acute}} = \arccos \left( \left| \frac{\boldsymbol{s_1} \cdot \boldsymbol{s_2}}{|\boldsymbol{s_1}||\boldsymbol{s_2}|} \right| \right)$$