单位矩阵

矩阵乘法需要一个"什么都不改变"的元：任何矩阵与它相乘都等于自身，正如数 $0$ 之于加法、数 $1$ 之于乘法。单位矩阵正是矩阵乘法的这个单位元，是定义逆矩阵、正交矩阵、酉矩阵等概念的基准。

需先掌握矩阵乘法与矩阵运算。

定义

主对角线全为 $1$、其余元素全为 $0$ 的 $n$ 阶方阵称为 $n$ 阶单位矩阵，记作 $I_n$（或 $E$）：

$$I_n=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$$

性质

• 乘法单位元：对任意 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $AI_n=I_nA=A$
• 对 $m\times n$ 矩阵 $A$：$I_mA=AI_n=A$（两侧阶数不同）
• 单位矩阵可逆且 $I_n^{-1}=I_n$；$\det I_n=1$，$\operatorname{tr}I_n=n$
• $I_n$ 对应的线性变换是恒等变换

示例

• $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
• 正交矩阵满足 $Q^TQ=QQ^T=I$，酉矩阵满足 $U^\dagger U=UU^\dagger=I$
• 正交群 $O(n)$、酉群 $U(n)$ 的单位元都是单位矩阵

应用

单位矩阵是逆矩阵定义（$AB=BA=I$）的基础；在矩阵乘法、矩阵的幂与指数运算中充当乘法单位元；矩阵群（见李群）的单位元即单位矩阵。