QRD

QRD

对实矩阵 $A\in\mathbb R^{m\times n}$（$m\ge n$），完整 QR 可取正交方阵 $Q\in\mathbb R^{m\times m}$ 与上梯形 $R\in\mathbb R^{m\times n}$；精简 QR 可取列正交 $Q\in\mathbb R^{m\times n}$ 与上三角 $R\in\mathbb R^{n\times n}$，满足：

$$A = QR.$$

当 $A$ 是列满秩矩阵时, 可以取 $Q$ 的列向量为一组标准正交向量组; 当 $A$ 是可逆方阵时, $Q$ 是正交方阵, $R$ 是可逆上三角矩阵。

步骤

下面的求逆公式只针对可逆方阵；矩形的列正交 $Q$ 没有通常意义的逆矩阵。

1. QRD：将矩阵 $A$ 分解为正交矩阵 $Q$ 和上三角矩阵 $R$：

$$A = QR$$

2. 求解 $R$ 的逆矩阵：利用上三角矩阵的特性，逐列求解逆矩阵。

3. 求解 $Q$ 的逆矩阵：由于 $Q$ 是正交矩阵，$Q$ 的逆矩阵等于其转置矩阵：

$$Q^{-1} = Q^T$$

4. 组合逆矩阵：

$$A^{-1} = R^{-1}Q^T$$

最小二乘与构造

对列满秩的 $A$ 取精简 QR，$Q^TQ=I_n$ 且 $R$ 可逆。由正交分解，最小二乘解满足 $R\hat x=Q^Tb$，直接三角回代即可，不必显式求 $R^{-1}$。

共同算例中的矩阵可取

$$Q=\begin{bmatrix}1/\sqrt2&-1/\sqrt6\\0&2/\sqrt6\\1/\sqrt2&1/\sqrt6\end{bmatrix},\quad R=\begin{bmatrix}\sqrt2&1/\sqrt2\\0&\sqrt{3/2}\end{bmatrix}.$$

对 $b=(1,2,2)^T$，$Q^Tb=(3/\sqrt2,5/\sqrt6)^T$，回代得到 $\hat x=(2/3,5/3)^T$。

理论上可用施密特正交化理解 QR；实际浮点计算常用 Householder 反射或 Givens 旋转，经典 Gram–Schmidt 在近线性相关时可能丢失正交性。秩亏矩阵仍可作 QR，但 $R$ 不可逆；应结合列选主元判秩或用SVD处理，不能继续套唯一解回代。