向量组的线性相关性

对于向量组，线性相关性回答一个基本问题：是否存在“冗余”向量——某个向量能否由其余向量线性表示。判定线性相关与否，是求秩与确定基的前提。

定义

若存在一组不全为零的系数 $c_1,c_2,\dots,c_n$ 使得

$$c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\cdots+c_n\vec{v}_n=\vec{0}$$

则称向量组 $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_n$ 线性相关；若上式仅在 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$ 时成立，则称该向量组线性无关（又称一次独立，见一次独立）。线性无关意味着没有任何一个向量可以被表示为其他向量的线性组合。

直观理解

• 几何意义：若几个向量线性相关，则至少有一个向量位于由其余向量张成的空间中。例如在三维空间中，三个线性相关的向量中至少有一个落在另外两个向量张成的平面上。
• 维数与自由度：线性无关的向量组张成的空间维数等于向量个数；线性相关的向量组因存在冗余，张成的空间维数小于向量个数。

判定方法

• 行列式法：若向量组构成的矩阵是方阵且行列式不为零，则向量组线性无关；行列式为零则线性相关。
• 秩：向量组构成的矩阵的秩等于极大线性无关组所含向量个数。秩小于向量个数则线性相关，等于则线性无关（见向量组的秩）。
• 高斯消元法：对向量组构成的矩阵作行化简（行阶梯形），统计主元的个数，即为线性无关向量的最大数目（见高斯消元法）。

应用

线性相关性广泛用于解线性方程组（判断解的存在与唯一性）、确定向量空间的基、数据分析中的维数约简等。