定义

$n$个实数或复数$a_{1}$,$a_{2}$,...,$a_{n}$所组成的有序数组称为$n$维向量, 这$n$个数称为该向量的$n$个分量

分量都是实数则称为实向量, 分量为复数则称为复向量. 本系列中除特别指明外, 一般只讨论实向量

n维向量可以写成一行, 也可以写成一列, 一般习惯把n维向量写成列向量:

$$\vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \dots\\ a_{n} \end{bmatrix}$$

$$a^T=[a_{1},a_{2},\dots,a_{n}]$$

这样定义下的列向量做线性变换等于左乘矩阵$A$

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在解析几何中, 我们把既有大小又有方向的量称为向量, 并把可以随意平移的有向线段作为向量的几何意义. 在引进坐标系后, 这种向量就有了坐标表示方法: 3个有次序的实数, 也就是这里的3维向量. 但是当n>3时, n维向量就不再有这种直观的几何意义.

几何中, 空间通常作为全体点的集合, 这样的空间叫做点空间. 3维向量的全体组成的集合, 叫3维向量空间. 在点空间选取坐标系后, 空间中的点与三维向量之间有了一一对应的关系, 因此向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间.

定义

若干个同维度的列向量组成的集合叫做向量组.

+

1. $m\times n$矩阵的$n$个全体列向量
2. 线性方程组$A_{m\times n}x=0$的全体解, 当$R(A)<n$时是一个含有无限个n维列向量的向量组

含有有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应.

定义

给定向量组$A: a_{1},a_{2},\dots,a_{m}$ 对于任何一组实数$k_{1},k_{2},\dots,k_{m}$

$$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\dots+k_{m}n_{m}$$

称为向量组A的一个线性组合,$k_{i}$称为线性组合的系数

给定向量组$A$和向量$b$, 如果存在一组数$k_{i}$使得$b$能够被$A$的一个线性组合表示,则称为向量$b$能被向量组$A$线性表示