李代数

简介

李代数是一个线性空间配备了一个额外的满足雅可比恒等式的二元运算 $[X, Y]$, 通常称为李括号或对易子.
李代数是与李群相联系的代数结构, 每一种李代数理论上都对应着一个李群, 反映了该群的局部无穷小结构和性质.

定义

对一个实（或复）线性空间 $\mathfrak{g}$，若存在一个双线性运算 $[·,·]$，使得

1. 反对称性：$[X, Y] = -[Y, X]$
2. 雅可比恒等式：$[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0$
   则称 $(\mathfrak{g}, [·,·])$ 为李代数。

与李群的关系

李群 $G$ 的单位元切空间 $T_e G$ 构成其李代数 $\mathfrak{g}$。
指数映射 $\exp: \mathfrak{g} \to G$ 将代数元素映射为群元素。
李代数决定了李群的局部性质。

示例

1. 广义线性李代数 $\mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})$: 这个李代数包含所有 $n \times n$ 实数矩阵。其李括号（李代数的二元运算）定义为两个矩阵的对易子：$[A, B] = AB - BA$，其中 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 实数矩阵。
2. 特殊线性李代数 $\mathfrak{sl}(n, \mathbb{R})$: 特殊线性李代数是广义线性李代数的一个子代数，包含所有行列式为零的 $n \times n$ 实数矩阵。其李括号同样是对易子：$[A, B] = AB - BA$。
3. 正交李代数 $\mathfrak{so}(n)$: 包含所有满足 $A + A^T = 0$ 的 $n \times n$ 实数矩阵，其中 $A^T$ 表示 $A$ 的转置。这些矩阵代表了维数为 $n$ 的空间中的旋转。
4. 单位李代数 $\mathfrak{su}(n)$: 包含所有满足 $A + A^\dagger = 0$ 且 $\text{Tr}(A) = 0$ 的 $n \times n$ 复数矩阵，其中 $A^\dagger$ 表示 $A$ 的共轭转置，而 $\text{Tr}(A)$ 是 $A$ 的迹。这些矩阵与特殊单位群相关，该群在量子力学中有重要应用。
5. 海森堡李代数: 由位置和动量算符以及恒等算符组成的无穷维李代数。它在量子力学中扮演着核心角色，尤其是在描述量子力学的基本对易关系时。

拓展

结构常数、根系、半单李代数、李群表示论等内容可展开。