正交向量组是指在内积空间中互相正交的向量集合

性质

1. 内积为零

在一个正交向量组中，任意两个不同的向量的内积为零。设$\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$是一个正交向量组，则对于任意$i \neq j$，有

$$v_i \cdot v_j = 0$$

2. 线性无关

正交向量组中的向量是线性无关的。即，如果$\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$是一个正交向量组，则

$$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0$$

当且仅当$c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$。

3. 可通过单位化构成正交归一向量组

将正交向量组中的每个向量单位化，可以得到一个正交归一向量组。设$\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$是一个正交向量组，则其对应的正交归一向量组为$\{ u_1, u_2, \ldots, u_n \}$，其中

$$u_i = \frac{v_i}{\| v_i \|}$$

且满足

$$u_i \cdot u_j = \begin{cases} 1 & \text{如果 } i = j \\ 0 & \text{如果 } i \neq j \end{cases}$$

4. 投影的简化

在正交向量组构成的子空间中，可以简化向量投影的计算。设$\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$是一个正交向量组，对于任意向量$w$，其在该子空间的投影为

$$w_{\text{proj}} = \sum_{i=1}^n \frac{w \cdot v_i}{v_i \cdot v_i} v_i$$

5. 构成基底的简便性

正交向量组可以很方便地扩展成正交基。若正交向量组$\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$张成的子空间为整个向量空间，则它们构成一个基，且这种基称为正交基。如果$\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$已经是向量空间的一组基，则它们也是正交基。

6. 方便的内积计算

如果向量可以表示为正交向量组的线性组合，那么计算它们之间的内积会更加简便。设$u$和$v$是两个向量，分别表示为

$$u = \sum_{i=1}^n a_i v_i, \quad v = \sum_{i=1}^n b_i v_i$$

其中$\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$是正交向量组，则

$$u \cdot v = \sum_{i=1}^n a_i b_i v_i \cdot v_i$$