样本容量的选取

在给定的显著水平 $\alpha$ 与检验功效（$1-\beta$）下，确定满足精度要求的最小样本量 $n$。样本量过小则功效不足，过大则浪费资源。

均值检验的样本量

设观测独立同分布于正态总体，方差 $\sigma^2>0$ 已知。对双侧检验 $H_0:\mu=\mu_0$、$H_1:\mu\ne\mu_0$，预先指定希望检出的真值 $\mu_1$。以该真值处功效至少为 $1-\beta$ 为设计目标，常用近似为

$$n \approx \frac{(z_{\alpha/2} + z_\beta)^2 \sigma^2}{(\mu_1 - \mu_0)^2}$$

其中 $z_{\alpha/2}, z_\beta$ 为标准正态分布上尾分位数（$P(Z>z_\gamma)=\gamma$），$\Delta = |\mu_1 - \mu_0|$ 为可检测的最小差异（效应量）。

影响样本量的因素

因素	增大方向
显著性水平 $\alpha$ 更小	$n$ 增大
功效 $1-\beta$ 更高	$n$ 增大
效应量 $\Delta$ 更小	$n$ 增大
总体方差 $\sigma^2$ 更大	$n$ 增大
单侧 vs 双侧检验	双侧需要更大 $n$

区间估计视角

估计正态总体均值 $\mu$，要求置信水平 $1-\alpha$ 的区间半宽不超过 $d$（这不是每次估计误差的确定性保证）：

$$n \ge \left(\frac{z_{\alpha/2}\, \sigma}{d}\right)^2$$

通用原则

• 样本量公式常需先估计 $\sigma^2$（用历史数据或预实验）
• 方差未知时，应在预设效应与尺度下用非中心 t 分布计算检验功效并求整数样本量；仅替换一个临界分位数不足以给出精确功效。
• 实际中还可借助功效分析软件（G*Power 等）计算

用精确功效核对整数样本量

双侧 z 检验拒绝 $|Z|>z_{\alpha/2}$。令 $\delta_n=\sqrt n\,|\mu_1-\mu_0|/\sigma$，正态模型下在设计真值处的精确功效为

$$\pi_n=\Phi(-z_{\alpha/2}-\delta_n)+1-\Phi(z_{\alpha/2}-\delta_n).$$

常用样本量近似忽略了远端拒绝尾，先向上取整，再用此式核对相邻整数。若 $\sigma=10$、$\Delta=5$、$\alpha=0.05$、目标功效为 0.8，近似给出 $n=32$；精确功效 $\pi_{31}\approx0.79501$、$\pi_{32}\approx0.80743$，故最小整数为 32。

单侧检验在预先指定的正确方向上可用 $z_\alpha$ 替换 $z_{\alpha/2}$，但不能看到数据后才选择方向。区间半宽公式也要向上取整；失访、整群抽样等设计变化须另行纳入。