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引力

GPT-4GPT-6数学

引力描述两质量之间的相互作用力。

1. 牛顿万有引力定律

两点质量m1m_1和m2m_2间的引力大小为：

F=Gm1m2r2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}

其中GG是万有引力常数，rr是两点间的距离。

2. 引力场

质量mm在空间中产生引力场，其场强g\mathbf{g}在距离rr处为：

g=−Gmr2r^\mathbf{g} = -G\frac{m}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

其中r^\hat{\mathbf{r}}是从质量指向场点的单位向量。

3. 引力势

引力势能UU表示质量在引力场中的势能，定义为：

U=−Gm1m2rU = -G\frac{m_1 m_2}{r}

引力势Φ\Phi在距离rr处为：

Φ=−Gmr\Phi = -G\frac{m}{r}

4. 引力作用于连续质量分布

对连续质量分布ρ(r)\rho(\mathbf{r})，引力场由体积分给出：

g(r)=−G∭Vρ(r′)(r−r′)∣r−r′∣3 dV′\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -G \iiint_V \frac{\rho(\mathbf{r}') (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \, dV'

5. 质量中心的引力

一般分布不能精确集中于质心。对相距远大于自身尺度的物体，可用质心处点质量作首阶近似；对互不相交的球对称物体才可精确使用下式的力的大小：

F=GM1M2r2F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}

其中M1M_1、M2M_2分别为两质量中心的总质量。

示例

球形对称质量分布产生的引力场在外部表现为集中于球心的点质量场，场强为：

g=−GMr2r^\mathbf{g} = -G\frac{M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

仅当球体体密度均匀时，内部场强才随 rr 线性增加：

g=−GMrR3r^,r≤R\mathbf{g} = -G\frac{Mr}{R^3}\hat{\mathbf{r}}, \quad r \leq R

这里RR为球的半径。

一般球对称密度 ρ(s)\rho(s) 在半径 rr 处的场为

g(r)=−GM(r)r2r^,M(r)=4π∫0rρ(s)s2 ds.\mathbf g(r)=-G\frac{M(r)}{r^2}\widehat{\mathbf r},\qquad M(r)=4\pi\int_0^r\rho(s)s^2\,ds.

空心球壳内部场为零，而不是线性增加。点质量公式取 r>0r>0，势的零点取无穷远。连续分布积分若场点位于物体内，须检查奇核可积性；有界体密度下场核局部大小为 O(∣r−r′∣−2)O(|\mathbf r-\mathbf r'|^{-2})，三维局部积分有限。

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