拓扑斯

集合论把数学建立在"集合与函数"上；拓扑斯给出"集合的一般化"：一个范畴内部可以做集合论式的推理（积、指数、幂对象、子对象分类器），但它不一定是 $\mathbf{Set}$。它为数学提供一个不依赖 ZFC 基础的"集合的宇宙"，是范畴论对数学基础的核心贡献。

需先掌握层（层范畴）、Grothendieck拓扑（景）与笛卡尔闭范畴（指数对象）。

定义

Grothendieck 拓扑斯是某个景 $(\mathcal{C},J)$ 上的层范畴 $\mathbf{Sh}(\mathcal{C},J)$；等价地（Giraud 定理），它是满足以下条件的范畴：有极限与余极限、余极限与有限极限相容、等价关系有余核、有生成元族。
初等拓扑斯（Lawvere–Tierney）是满足下述三条的范畴 $\mathcal{E}$：

• 有限完备（有终对象与拉回，见极限）
• 笛卡尔闭（每对对象有指数 $B^A$，见笛卡尔闭范畴）
• 有子对象分类器 $\Omega$：对每个单态射 $m:S\to A$ 存在唯一的特征态射 $\chi_m:A\to\Omega$，使下图是拉回

$$\begin{matrix}S&\to&1\\ \downarrow\scriptstyle{m}&&\downarrow\scriptstyle{\mathrm{true}}\\ A&\xrightarrow{\chi_m}&\Omega\end{matrix}$$

性质

• 例子：$\mathbf{Set}$ 是最简单的拓扑斯（$\Omega=\{0,1\}$）；$\mathbf{Sh}(X)$ 是 $X$ 上集合的"推广"；预层范畴 $\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}$ 也是拓扑斯
• 拓扑斯内部可做"直觉主义集合论"：它是有内逻辑的笛卡尔闭范畴，其内逻辑是高阶直觉主义逻辑（排中律不必然成立）
• 任意拓扑斯可嵌入预层拓扑斯；拓扑斯间的几何态射 $f^*\dashv f_*$ 推广了连续映射的逆像-直像对（见层）
• 拓扑斯的子对象格是 Heyting 代数

应用

拓扑斯连接几何与逻辑：代数几何中把 $\mathbf{Sh}(X)$ 当作"$X$ 上的集合"（内部语言做构造、外部范畴做验证）；逻辑与集合论中用拓扑斯研究 forcing 与独立性（Cohen 强迫的范畴版本）；栈是 2-范畴化的拓扑斯推广。