基本群胚

基本群把同伦类装进一个群，却依赖基点的选择；基本群胚把 $X$ 的所有点同时作为对象、把路径的同伦类作为态射，一举消去基点——它回答了"如果不选基点，拓扑信息该存在哪里"。

需先掌握范畴的定义（群胚是每个态射可逆的范畴）与拓扑学中的同伦（路径同伦类）；对照基本群理解"去基点"的改进。

定义

拓扑空间 $X$ 的基本群胚 $\Pi_1(X)$：对象是 $X$ 的点；$x\to y$ 的态射是从 $x$ 到 $y$ 的道路的同伦类（保持端点），复合是道路的衔接。每条道路可反向，故每个态射可逆——$\Pi_1(X)$ 是群胚（groupoid）。

性质

• 点 $x_0$ 的自同构群 $\operatorname{Aut}(x_0)$ 正是基本群 $\pi_1(X,x_0)$；取不同基点得到的群同构，但非同伦等价
• 函子性：连续映射 $f:X\to Y$ 诱导群胚函子 $\Pi_1(f):\Pi_1(X)\to\Pi_1(Y)$，故 $\Pi_1:\mathbf{Top}\to\mathbf{Grpd}$ 是函子（见函子）
• 同伦不变：同伦等价诱导基本群胚的范畴等价（无需保持基点）
• Seifert–van Kampen：若 $X=U\cup V$（$U,V,U\cap V$ 开且道路连通），则

$$\Pi_1(U\cap V)\to\Pi_1(U),\quad \Pi_1(U\cap V)\to\Pi_1(V),\quad \Pi_1(U)\to\Pi_1(X),\quad \Pi_1(V)\to\Pi_1(X)$$

构成 $\mathbf{Grpd}$ 中的推出（见余极限）；在 $x_0$ 取自同构即经典的 $\pi_1(X)\cong\pi_1(U)*_{\pi_1(U\cap V)}\pi_1(V)$（融合自由积）

应用

基本群胚使 van Kampen 定理不必选公共基点、也不必要求 $U\cap V$ 道路连通（群胚版本直接成立），是代数拓扑中"去掉人为选择"的标准工具；它还是单纯集中 Kan 复形（$\infty$-群胚）的几何原型。