单子

函数式编程里"副作用"（状态、IO、异常）无法用纯函数直接表达；单子（monad）把这类计算包装成"带结构的函子" $T$，使副作用仍可按纯函数方式组合——Haskell 的 Monad 类型类正源于此。它是伴随对的组合结构，也是伴随函子与极限的直接产物。

需先掌握函子（自函子、函子复合）、自然变换（单位与乘法）与伴随函子与极限（伴随产生单子）。

定义

范畴 $\mathcal{C}$ 上的单子是三元组 $(T,\eta,\mu)$：$T:\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ 是自函子，$\eta:\mathrm{Id}_\mathcal{C}\Rightarrow T$ 与 $\mu:T^2\Rightarrow T$ 是自然变换，满足

• 结合律：$\mu\circ T\mu=\mu\circ\mu T$（作为 $T^3\Rightarrow T$）
• 单位律：$\mu\circ\eta T=\mu\circ T\eta=\mathrm{id}_T$

等价地：$T$ 是自函子范畴 $[\mathcal{C},\mathcal{C}]$ 中的幺半群对象（幺元 $\eta$、乘法 $\mu$）。

性质

• 伴随产生单子：若 $F\dashv G$（$F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$，$G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$），则 $T=G\circ F$ 连同单位 $\eta$ 与 $\mu=G\varepsilon F$ 构成单子；反之每个单子都来自某伴随（Kleisli / Eilenberg–Moore）
• Kleisli 范畴 $\mathcal{C}_T$：对象同 $\mathcal{C}$，态射 $A\to B$ 是 $A\to TB$，复合用 $\mu$ 拼合——编程中"带副作用的函数"正是 Kleisli 态射
• 代数：$T$-代数 $A$ 是对象 $A$ 连同 $\alpha:TA\to A$ 满足相容条件；Eilenberg–Moore 范畴 $\mathcal{C}^T$ 的遗忘函子是 $T$ 的"模范畴"
• 单子与伴随的双射：每个单子 $T$ 唯一地对应 Kleisli 范畴与 Eilenberg–Moore 范畴这两个极端伴随

例子

• 幂集单子 $T(A)=\mathcal{P}(A)$：$\eta(a)=\{a\}$、$\mu=\bigcup$；其代数是完全格
• May-单子 $T(A)=A+1$（可选值）：编程中的 Maybe，代数给出带基点集合
• Haskell 中 IO、State、List 都是单子：return 即 $\eta$，>>= 编码 Kleisli 复合

应用

单子是函数式编程副作用建模的标准工具（IO、状态、异常、解析器），也是代数理论（Lawvere 理论）、拓扑中的同伦单子（见同伦范畴）与余代数的对偶概念的公共框架。