栈

模空间（如亏格 $g$ 的代数曲线族）往往有自同构，使"对象族"不能只按开集粘合，还要粘合对象的自同构。栈把层的粘合概念提升到 2-范畴层面：它不仅粘合对象，还粘合同构，从而正确编码带对称性的模问题。

需先掌握层（粘合公理）、Grothendieck拓扑（景上的覆盖）与函子（纤维化范畴）。

定义

设 $(\mathcal{C},J)$ 为景。$\mathcal{C}$ 上的范畴纤维化在群胚中（fibered category in groupoids）$\mathcal{F}\to\mathcal{C}$ 是"对象族"的 2-函子：每个 $U\in\mathcal{C}$ 对应一个群胚 $\mathcal{F}(U)$（对象是 $U$ 上的对象族，态射是同构），每个态射 $f:V\to U$ 对应拉回函子 $f^*:\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}(V)$。
$\mathcal{F}$ 是栈，若对每个覆盖 $\{U_i\to U\}\in J(U)$ 与"下降数据"（一族对象 $\xi_i\in\mathcal{F}(U_i)$ 及二重交上的粘合同构，满足余循环条件），存在 $\xi\in\mathcal{F}(U)$ 及同构 $\xi|_{U_i}\cong\xi_i$（并且是本质唯一的）。即"局部对象与同构可粘合成整体"。

性质

• 每个层给出一个栈（把 $\mathcal{F}(U)$ 取为离散群胚）；栈是层的 2-推广
• 表示性：可被（1-）层表示的栈称为可表；模栈常不可表，但可被光滑覆盖（Artin 栈、Deligne–Mumford 栈）
• 分类栈：$G$ 为代数群时，$BG$（$U$ 上的对象是 $G$-主丛）是栈，其上的"点"记录 $G$ 的表示与自同构
• 模栈 $\overline{\mathcal{M}}_g$（稳定曲线）是 Deligne–Mumford 栈，承载 $g$ 维模空间的紧化结构

应用

栈是代数几何研究模空间的标准工具（曲线模栈、向量丛模栈）；它同时是拓扑斯的 2-范畴推广，把"局部-整体"原则从集合（层）提升到群胚（栈）乃至更高范畴（$\infty$-栈）。