同伦范畴

同伦把"相差连续形变"的映射视为等价；把等价类当作态射，就得到同伦范畴——拓扑学在"忽略形变"意义下的精确对象。它把同伦等价变成同构，是各同伦不变量的公共定义域。

需先掌握函子（范畴间映射）与拓扑学中的同伦（映射的形变等价）。

定义

同伦范畴 $h\mathbf{Top}$：对象是拓扑空间，态射 $[f]:X\to Y$ 是连续映射 $f$ 的同伦类。更一般地，对带弱等价类 $W$ 的范畴 $\mathcal{C}$，其局部化 $W^{-1}\mathcal{C}$ 通过形式地翻转 $W$ 中箭头得到；$h\mathbf{Top}$ 即 $\mathbf{Top}$ 在同伦等价处局部化的结果。

性质

• 同伦等价在 $h\mathbf{Top}$ 中成为同构
• Whitehead 定理：对 CW 复形，弱同伦等价 $\Rightarrow$ 同伦等价，故同伦范畴在同伦等价与弱同伦等价意义下一致
• 函子性：任何同伦不变量（如基本群胚、奇异同调）都因子通过 $h\mathbf{Top}$
• 模型范畴（Quillen）：满足余纤维化/纤维化/弱等价公理的范畴，其局部化 $\operatorname{Ho}(\mathcal{C})$ 携带同伦极限与同伦余极限结构；$h\mathbf{Top}$ 是 $\mathbf{Top}$ 的同伦范畴

应用

同伦范畴是代数拓扑中同调、同伦群等不变量的共同定义域；模型范畴框架把同伦论推广到单纯集（见单纯集）、链复形与谱，是现代稳定同伦论的语言基础。