正交投影算子

把向量"垂直投影"到闭子空间上，得到自伴算子中最直观的一族——正交投影算子。它把希尔伯特空间的正交分解 $H=M\oplus M^\perp$ 编码为一个幂等自伴算子，也是谱测度（把算子按投影"积分"）的基本构件。前置依赖：正交分解定理、自伴算子的定义。

正交投影算子

设 $M$ 为希尔伯特空间 $H$ 的闭子空间，$H=M\oplus M^\perp$。把 $x=x_M+x_{M^\perp}$ 映到 $x_M$ 的算子 $P_M$ 称为正交投影，满足

$$P_M^2=P_M,\qquad P_M^*=P_M,\qquad \operatorname{Im}P_M=M.$$

基本事实

• 自伴幂等算子与闭子空间一一对应：$P^2=P=P^*\iff P=P_M$（$M=\operatorname{Im}P$）
• $P_M$ 恒正且 $0\le P_M\le I$；$\lVert P_M\rVert=1$（$M\neq\{0\}$ 时）
• $\ker P_M=M^\perp$；$M\subseteq N\iff P_MP_N=P_M=P_NP_M$
• $P_M+P_N$ 为正交投影当且仅当 $M\perp N$，此时 $P_{M\oplus N}=P_M+P_N$

例

• $\mathbb{R}^3$ 到坐标平面或直线的投影
• $L^2[-\pi,\pi]$ 到常数函数的投影：$Pf=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt$
• 谱测度 $E(S)$ 的每个值都是正交投影，见谱测度

后续

正交投影是谱测度的原子——谱定理把算子写成对投影的积分；在量子力学中，投影测量把态投射到可观测量的特征子空间上。