正算子

自伴算子中的"非负"类——正算子——对应实对称矩阵中的半正定矩阵：二次型恒非负。它使算子之间可以比较大小（偏序）、可以开平方根，是正交投影算子与量子力学密度矩阵的公共框架。前置依赖：自伴算子的定义、自伴算子的谱。

正算子

自伴算子 $A$ 称为正算子（记 $A\ge 0$），若

$$\langle Ax,x\rangle\ge 0\quad(\forall x\in H).$$

性质

• $A\ge 0$ 当且仅当 $\sigma(A)\subseteq[0,\infty)$（见自伴算子的谱）
• 平方根：存在唯一正算子 $B$ 使 $B^2=A$，记 $B=\sqrt{A}$；且 $B$ 与 $A$ 可交换、属于 $A$ 生成的 $C^*$ 代数
• $A\ge 0$ 当且仅当存在算子 $C$ 使 $A=C^*C$（取 $C=\sqrt{A}$ 即可）
• 偏序单调：$0\le A\le B\Rightarrow\lVert A\rVert\le\lVert B\rVert$，且 $A$、$B$ 可交换时 $A^2\le B^2$
• $\lVert A\rVert=\sup_{\lVert x\rVert=1}\langle Ax,x\rangle=\inf\{\lambda\ge 0:\lambda I\ge A\}$

例

• 正交投影 $P$ 恒正：$\langle Px,x\rangle=\lVert Px\rVert^2\ge 0$，见正交投影算子
• $A^*A$ 恒正：$\langle A^*Ax,x\rangle=\lVert Ax\rVert^2\ge 0$
• 乘法算子 $M_\phi$ 正当且仅当 $\phi\ge 0$（几乎处处）

后续

正算子给出 $A$ 的"绝对值" $|A|=\sqrt{A^*A}$ 与正负部分解 $A=A_+-A_-$，是谱分解与极分解的基础；谱定理中 $f(A)$（$f\ge 0$）的正性也由此保证，见连续函数演算（自伴算子）。