谱测度

有限维自伴矩阵的谱分解把算子写成特征值乘特征投影的和；无穷维谱可能连续，求和必须换成积分。把"特征投影"组织成定义在 Borel 集上的投影值测度——谱测度——就得到谱定理的积分语言。前置依赖：正交投影算子、自伴算子的谱。

谱测度

设 $A$ 为希尔伯特空间上的有界自伴算子。存在唯一的谱测度 $E$（定义在 $\mathbb{R}$ 的 Borel 集上的投影值测度，满足可数可加性、$E(\mathbb{R})=I$、$E(S\cap T)=E(S)E(T)$），使得

$$A=\int_{\mathbb{R}}\lambda\,dE(\lambda),$$

且 $E$ 的支撑恰为 $\sigma(A)$。

关键性质

• 谱投影：$E(S)$ 是把 $x$ 映到"$A$ 限制在 $S$ 上"的谱子空间的投影；$E(\{\lambda\})\neq 0$ 当且仅当 $\lambda$ 是特征值
• 交换性：$E(S)$ 与 $A$ 以及一切 $f(A)$ 可交换（见连续函数演算（自伴算子））
• 与乘法算子对应：$A$ 酉等价于 $L^2(\mu)$ 上的实乘法算子 $M_\phi$ 时，$E(S)=M_{\mathbf{1}_{\phi^{-1}(S)}}$（见酉算子）

例

• 对角算子 $(\lambda_n x_n)$：$E(S)$ 是到 $\operatorname{span}\{e_n:\lambda_n\in S\}$ 的投影
• 乘法算子 $M_\phi$：$E(S)$ 是乘 $\mathbf 1_{\phi^{-1}(S)}$ 的算子
• 投影算子 $P_M$：$E(\{1\})=P_M$，$E(\{0\})=I-P_M$

后续

谱测度是谱定理与函数演算的核心对象：$f(A)=\int f(\lambda)\,dE(\lambda)$。它把量子力学的投影测量公设（测量结果为谱中的点，态坍缩到对应 $E(S)$ 的像）写成数学形式。