谱定理（有界自伴算子）

谱定理回答"自伴算子能对角化到什么程度"：有限维 Hermite 矩阵可正交对角化；无穷维算子没有特征向量时（连续谱），对角化让位于"按谱测度积分"。它是泛函分析最深刻的结果之一，也是量子力学可观测量的数学基础。前置依赖：谱测度、自伴算子的谱、酉算子。

谱定理（有界自伴算子）

设 $A$ 为希尔伯特空间 $H$ 上的有界自伴算子。存在唯一谱测度 $E$，使得

$$A=\int_{\sigma(A)}\lambda\,dE(\lambda).$$

等价地（乘法算子形式）：存在测度空间 $(\Omega,\mu)$、实值可测函数 $\phi$ 与酉算子 $U:H\to L^2(\mu)$，使

$$(UAU^{-1}f)(\omega)=\phi(\omega)f(\omega).$$

推论

• 函数演算：对 Borel 函数 $f$ 定义 $f(A)=\int f(\lambda)\,dE(\lambda)$，得到从有界 Borel 函数到 $B(H)$ 的 $*$-同态，且 $\sigma(f(A))=f(\sigma(A))$，见连续函数演算（自伴算子）
• 正负部分解：$A=A_+-A_-$，其中 $A_\pm\ge 0$ 且 $A_+A_-=0$（$A_+=f(A)$，$f(t)=\max(t,0)$），见正算子
• 紧自伴算子是特例：$E$ 集中于离散点集，谱定理退化为特征向量级数，见紧自伴算子

例

• 对角算子：$E$ 集中在 $\{\lambda_n\}$，谱定理即 $A=\sum\lambda_n\langle\,\cdot,e_n\rangle e_n$
• 乘法算子 $M_\phi$：谱定理平凡地成立，$E$ 为乘指示函数
• 有限维 Hermite 矩阵：谱定理即谱分解 $A=U\Lambda U^*$

后续

谱定理推广到无界自伴算子（含微分算子）与正规算子；它使任意 Borel 函数（如 $e^{-itA}$）作用于算子成为可能，是 von Neumann 代数、$C^*$ 代数（C星代数）与量子力学时间演化的共同基础。