自伴算子的基本性质

自伴算子的价值在于把"实对称矩阵"的好处完整搬到无穷维：谱为实数、范数由二次型决定、不同特征子空间正交。这些性质是谱分析的基石。前置依赖：自伴算子的定义、伴随算子。

范数与二次型

• $\lVert A\rVert=\sup_{\lVert x\rVert=1}|\langle Ax,x\rangle|$；实空间上 $\lVert A\rVert=\sup_{\lVert x\rVert=1}\langle Ax,x\rangle$
• 复空间上 $\langle Ax,x\rangle=0\ (\forall x)\Rightarrow A=0$（极化恒等式）

谱为实数

$\sigma(A)\subseteq\mathbb{R}$。设 $\lambda=\alpha+i\beta$（$\beta\neq 0$），由 $\operatorname{Im}\langle(\lambda I-A)x,x\rangle=\beta\lVert x\rVert^2$ 得 $\lVert(\lambda I-A)x\rVert\ge|\beta|\,\lVert x\rVert$，故 $\lambda I-A$ 下有界可逆。因此 $\lambda\notin\sigma(A)$ 当且仅当存在 $c>0$ 使 $\lVert(\lambda I-A)x\rVert\ge c\lVert x\rVert$。

谱半径

$r(A)=\sup\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(A)\}=\lVert A\rVert$（由谱半径公式与 $C^*$ 恒等式 $\lVert A^*A\rVert=\lVert A\rVert^2$，见C星代数）。

特征结构

• 不同特征值的特征向量正交：$\lambda\langle x,y\rangle=\langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle=\mu\langle x,y\rangle$
• 自伴算子无剩余谱（$\sigma_r(A)=\varnothing$），见自伴算子的谱

后续

这些性质使自伴算子可按谱测度积分，得到谱定理；量子力学中自伴算子对应可观测物理量，谱即可能观测值。