循环群

循环群是由单个元素反复运算生成的最简单群：$G=\langle g\rangle=\{g^n:n\in\mathbb{Z}\}$。它的结构被完全刻画，是有限阿贝尔群结构定理的"积木"，也是数论中模运算与离散对数的代数背景。需先掌握群与子群。

定义

若群 $G$ 中存在元素 $g$，使每个元素都能写成 $g$ 的整数幂，即

$$G=\langle g\rangle=\{g^n:n\in\mathbb{Z}\}$$

则称 $G$ 为循环群，$g$ 称为生成元。元素 $g$ 的阶 $\operatorname{ord}(g)$ 是使 $g^m=e$ 的最小正整数 $m$（不存在则为无穷）。

性质

• 循环群必为阿贝尔群：$g^a g^b = g^{a+b}=g^b g^a$。
• $|\langle g\rangle|=\operatorname{ord}(g)$。
• 无限循环群同构于 $(\mathbb{Z},+)$；$n$ 阶有限循环群同构于 $(\mathbb{Z}_n,+)$。
• 循环群的子群仍为循环群；$n$ 阶循环群对 $n$ 的每个正因子 $d$ 恰有一个 $d$ 阶子群。
• $n$ 阶循环群恰有 $\varphi(n)$ 个生成元（$\varphi$ 为欧拉函数）。

示例

• $(\mathbb{Z},+)=\langle 1\rangle$ 是无限循环群。
• $\mathbb{Z}_6=\langle 1\rangle$，其生成元为 $1,5$（$\varphi(6)=2$）。
• $n$ 次单位根群 $\mu_n=\{e^{2\pi i k/n}:k=0,\dots,n-1\}$ 是 $n$ 阶循环群。

应用

有限阿贝尔群结构定理：有限阿贝尔群同构于循环群的直积 $\mathbb{Z}_{n_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{n_k}$（见阿贝尔群）。循环群是离散对数、中国剩余定理、循环码等应用的基础。