生成元

生成元回答"用最少元素搭出整个群"：子集 $S$ 生成的子群 $\langle S\rangle$ 是包含 $S$ 的最小子群。单元素生成给出循环群，多元素生成描述更复杂的群，是研究群结构的基本语言。需先掌握群与子群。

定义

设 $S\subseteq G$，$S$ 生成的子群为

$$\langle S\rangle=\bigcap_{S\subseteq H\le G}H=\{s_1^{\epsilon_1}\cdots s_k^{\epsilon_k}:s_i\in S,\ \epsilon_i\in\{\pm1\}\}$$

即 $S$ 中元素的一切有限乘积。若 $\langle S\rangle=G$，称 $S$ 为 $G$ 的生成集；由单元素生成的群即循环群。

性质

• $\langle S\rangle$ 是 $G$ 中唯一包含 $S$ 的最小子群。
• $n$ 阶循环群恰有 $\varphi(n)$ 个生成元（$\varphi$ 为欧拉函数）。
• $S_n$ 由全体对换生成，也由两个元素 $(12)$、$(12\cdots n)$ 生成（见对称群与置换群）。
• 有限生成群的子群不必有限生成；阿贝尔群的有限生成子群仍有限生成。

应用

生成集是理解群"自由度"的度量：自由群 $F_n$ 恰是 $n$ 个生成元"无关系"的群；可解群的换位子列、伽罗瓦群的生成元刻画都用此语言。