有理根定理

有理根定理

有理根定理（rational root theorem）给出了整系数多项式有理根的必要条件，可用于快速筛选可能的根。

定理

设整系数多项式

$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$$

其中 $a_n\neq 0$，$a_0\neq 0$。
若该多项式存在有理根 $r=\dfrac{p}{q}$（$p,q$ 互质），则

• $p$ 整除常数项 $a_0$
• $q$ 整除首项系数 $a_n$

特别地，若多项式是首一多项式（$a_n=1$），则全部有理根必为整数，且是 $a_0$ 的因数。

示例

求 $P(x)=2x^{3}+3x^{2}-8x+3=0$ 的有理根。

• 可能的有理根：$\pm \dfrac{p}{q}$，其中 $p\mid 3$（即 $1,3$），$q\mid 2$（即 $1,2$）
• 候选：$\pm 1,\pm 3,\pm \dfrac{1}{2},\pm \dfrac{3}{2}$
• 依次代入：
  • $P(1)=2+3-8+3=0$ ✓
  • $P(-1)=-2+3+8+3=12\neq 0$
  • $P(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-4+3=0$ ✓

因此有理根为 $x=1$ 和 $x=\dfrac{1}{2}$，进而可分解因式。

应用

有理根定理常用于：

• 高次方程求根的快速初筛
• 微分方程中高阶特征方程的试根与降次
• 差分方程中高阶递推关系的求解

例如复数域上的特征方程 $r^{3}-6r^{2}+11r-6=0$：

• $a_n=1$，$a_0=-6$，候选根：$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$
• 代入检验，得 $r=1,2,3$ 均为根
• 因此微分方程通解为 $y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}+C_3e^{3x}$

相关链接

• 二次方程求根公式
• 多项式除法