有时记作$C_n^k$,或者$_nC_k$

组合数

组合数 $C_m^n$（也称为二项系数或组合）表示从 $m$ 个不同的元素中选择 $n$ 个元素的方式的数量，而不考虑选择的顺序。计算组合数 $C_m^n$ 的公式如下：

$$C_m^n​=\frac{n!(m−n)!}{m!}​$$

例如，要计算$C_5^2$，即从5个不同的元素中选择2个元素的方式的数量，可以这样计算：

$$C_5^2 = \frac{2! \cdot (5-2)!}{5!} = \frac{2! \cdot 3!}{5!} = \frac{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$$

所以，$C_5^2$ 等于10，表示从5个不同的元素中选择2个元素的方式有10种。

也可以写成以下更对称的形式:

$$C_{m+n}^n​=\frac{m!\cdot n!}{(m+n)!}​=C_{m+n}^m​$$

表示从 $m+n$ 个元素中选出m个元素或n个元素, 这两种情况的组合数相等

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Wikipedia

定义及概念

对于非负整数$n$,$k$, 二项式系数定义为$(1+x)^n$的多项式展开中, $x^k$的系数 ${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}}$ 事实上，若$x$, $y$为[[交换环]]上的元素，则满足二项式定理

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k$$

阶乘公式

二项式系数最简洁的表达式是阶乘:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \quad \text{for } 0\leq k\leq n.$$

递归公式

以下递归公式可计算二项式系数：

$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \quad \forall n,k \in \mathbb{N}$$

其中特别指定：

$$\binom{n}{0} = 1 \quad \forall n \in \mathbb{N} \cup \{0\},$$

$$\binom{0}{k} = 0 \quad \forall k \in \mathbb{N}.$$

此公式可由计算 $(1+x)^{n-1}(1+x)$ 中的 $x^{k}$ 项，或点算集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的 $k$ 个元素组合中包含 $n$ 与不包含 $n$ 的数量得出。

显然，如果 $k > n$，则 $\binom{n}{k} = 0$。而且对所有 $n$，$\binom{n}{n} = 1$，故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。

乘数公式

个别二项式系数可用以下公式计算：

$$\binom{n}{k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-(k-i)}{i},$$

上式中第一个分数的分子是一阶乘幂。此公式可以二项式系数在计算组合数量的意义理解：分子为从 $n$ 个元素中取出 $k$ 个元素的序列之数量，当中包含同样的元素但不同排列次序的序列。分母则计算同样的 $k$ 个元素可有多少种排序方式。