三倍角公式是用于表示三倍角的正弦和余弦函数的公式。具体来说，三倍角公式如下：

$$\sin(3\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta)$$

$$\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$$

下面是这些公式的推导过程。

1. 推导 $\sin(3\theta)$

首先，使用 $\sin(a + b)$ 的和角公式：

$$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$$

令 $a = 2\theta$，$b = \theta$，则：

$$\sin(3\theta) = \sin(2\theta + \theta) = \sin(2\theta)\cos(\theta) + \cos(2\theta)\sin(\theta)$$

使用二倍角公式 $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ 和 $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$，代入上式：

$$\sin(3\theta) = (2\sin(\theta)\cos(\theta))\cos(\theta) + (\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta))\sin(\theta)$$

展开并化简：

$$\sin(3\theta) = 2\sin(\theta)\cos^2(\theta) + \cos^2(\theta)\sin(\theta) - \sin^3(\theta)$$

$$= 3\sin(\theta)\cos^2(\theta) - \sin^3(\theta)$$

使用 $\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)$，代入化简：

$$\sin(3\theta) = 3\sin(\theta)(1 - \sin^2(\theta)) - \sin^3(\theta)$$

$$= 3\sin(\theta) - 3\sin^3(\theta) - \sin^3(\theta)$$

$$= 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta)$$

所以，$\sin(3\theta)$ 的三倍角公式为：

$$\sin(3\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta)$$

2. 推导 $\cos(3\theta)$

首先，使用 $\cos(a + b)$ 的和角公式：

$$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$$

令 $a = 2\theta$，$b = \theta$，则：

$$\cos(3\theta) = \cos(2\theta + \theta) = \cos(2\theta)\cos(\theta) - \sin(2\theta)\sin(\theta)$$

使用二倍角公式 $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ 和 $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$，代入上式：

$$\cos(3\theta) = (\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta))\cos(\theta) - (2\sin(\theta)\cos(\theta))\sin(\theta)$$

展开并化简：

$$\cos(3\theta) = \cos^3(\theta) - \cos(\theta)\sin^2(\theta) - 2\sin^2(\theta)\cos(\theta)$$

$$= \cos^3(\theta) - 3\sin^2(\theta)\cos(\theta)$$

使用 $\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$，代入化简：

$$\cos(3\theta) = \cos^3(\theta) - 3(1 - \cos^2(\theta))\cos(\theta)$$

$$= \cos^3(\theta) - 3\cos(\theta) + 3\cos^3(\theta)$$

$$= 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$$

所以，$\cos(3\theta)$ 的三倍角公式为：

$$\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$$