定义

映射是一种数学关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素唯一地对应到另一个集合（称为值域）中的元素。数学上通常用$f:A \to B$表示，其中$A$是定义域，$B$是值域。

• 称 $b$ 为 $a$ 在 $f$ 下的像，$a$ 为 $b$ 在 $f$ 下的原像
• 称集合 $f(A)=\{f(a)|a \in A\}$ 为 $A$ 在映射 $f$ 下的象（像/象均可）
• 记作 $f:a\mapsto b$ 或者 $f(a)=b$

分类

1. 单射（Injective）：如果不同的元素在$A$中被映射到$B$中的不同元素，则称$f$为单射。即，如果$a_1 \neq a_2$，则$f(a_1) \neq f(a_2)$。
2. 满射（Surjective）：如果$B$中的每个元素至少由$A$中的一个元素映射，则称$f$为满射。即，对于每个$b \in B$，至少存在一个$a \in A$使得$f(a) = b$。
3. 双射（Bijective）：如果映射既是单射又是满射，则称$f$为双射。即，对于每个$b \in B$，存在唯一一个$a \in A$使得$f(a) = b$。

还有一点……

对于任何任意集合 $A$ ，显然都可以定义$1_A:I_A(a)=a,a\in A$，即把 $A$ 上的元素映射到其自身。此时的 $1_A$ 称为 $A$ 上的恒等映射或单位映射。

NOTE

并不是所有 A 到自身的映射都是恒等映射
比如对于任意整数 $n$ ，我们定义 $f(n)=n+1$，容易验证 $f$ 是 $Z$ 到 $Z$ 自身的映射，但不是恒等映射

定理

设 $f:A\rightarrow B$ 是映射， $X \subseteq A, Y \subseteq A$, 则有

$$f(X \cup Y)=f(X) \cup f(Y)\\ f(X \cap Y)=f(X) \cap f(Y)$$

• 请自行给出证明