毕达哥拉斯三元组

毕达哥拉斯三元组是二次丢番图方程 $x^2+y^2=z^2$ 的正整数解，其本原解由参数公式给出，等价于单位圆上的有理点参数化。

定义

若正整数 $x,y,z$ 满足 $x^2+y^2=z^2$，则称 $(x,y,z)$ 为毕达哥拉斯三元组；若 $\gcd(x,y,z)=1$ 则称本原三元组。

本原解参数化

本原三元组恰为（不计 $x,y$ 次序）

$$x=m^2-n^2,\qquad y=2mn,\qquad z=m^2+n^2$$

其中 $m>n\ge1$，$\gcd(m,n)=1$ 且 $m,n$ 一奇一偶。

有理点参数化

除以 $z^2$ 得单位圆 $X^2+Y^2=1$ 上的有理点 $(x/z,\,y/z)$。过定点 $(-1,0)$ 引斜率为 $t$ 的直线，与圆交于

$$X=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad Y=\frac{2t}{1+t^2},\qquad t\in\mathbb{Q}$$

$t$ 跑遍有理数给出全部有理点；这是"二次曲线有一个有理点即可整体有理参数化"的典型例子。

示例

• $m=2,\ n=1$ 得 $(3,4,5)$；$m=3,\ n=2$ 得 $(5,12,13)$
• $t=1/2$ 代入有理参数化得 $X=3/5,\ Y=4/5$，即 $(3,4,5)$