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双阶乘的定义

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双阶乘的定义

  • 对于奇数的双阶乘 (2n−1)!!(2n-1)!!：

    (2n−1)!!=1⋅3⋅5⋅…⋅(2n−1)=∏i=1n(2i−1) (2n-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)=\prod_{i=1}^{n}(2i-1)

  • 对于偶数的双阶乘 (2n)!!(2n)!!：

    (2n)!!=2⋅4⋅6⋅…⋅2n=∏i=1n(2i) (2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n=\prod_{i=1}^{n}(2i)

转换规则

双阶乘与阶乘之间的转换规则：

  • 奇数双阶乘 (2n−1)!!(2n-1)!! 转换为阶乘的公式：

    (2n−1)!!=(2n)!2n⋅n! (2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}

  • 偶数双阶乘 (2n)!!(2n)!! 转换为阶乘的公式：

    (2n)!!=2n⋅n! (2n)!! = 2^n \cdot n!

推导

奇数双阶乘

对于奇数双阶乘 (2n−1)!!(2n-1)!!，我们利用阶乘来进行转换。首先，我们知道奇数双阶乘 (2n−1)!!(2n-1)!! 是从 1 到 2n−12n-1 的所有奇数的乘积。

可以表示为：

(2n−1)!!=1⋅3⋅5⋅…⋅(2n−1) (2n-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)

将其与阶乘 (2n)!(2n)! 进行比较，阶乘 (2n)!(2n)! 包含从 1 到 2n2n 的所有整数的乘积：

(2n)!=1⋅2⋅3⋅4⋅…⋅(2n−1)⋅2n (2n)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2n-1) \cdot 2n

我们将这些数拆分为奇数和偶数：

(2n)!=(1⋅3⋅5⋅…⋅(2n−1))⋅(2⋅4⋅6⋅…⋅2n) (2n)! = (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)) \cdot (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n)

奇数部分是 (2n−1)!!(2n-1)!!，偶数部分是 2n⋅n!2^n \cdot n!。因此：

(2n)!=(2n−1)!!⋅2n⋅n! (2n)! = (2n-1)!! \cdot 2^n \cdot n!

解出 (2n−1)!!(2n-1)!!：

(2n−1)!!=(2n)!2n⋅n! (2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}

偶数双阶乘

对于偶数双阶乘 (2n)!!(2n)!!，可以类似地推导：

(2n)!!=2⋅4⋅6⋅…⋅2n (2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n

注意到这个乘积可以表示为：

(2n)!!=2n⋅(1⋅2⋅3⋅…⋅n)=2n⋅n! (2n)!! = 2^n \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n) = 2^n \cdot n!