背景

在空间解析几何中, 关于曲面的研究有两个基本问题:

1. 已知曲面作为点的几何轨迹时, 建立这个曲面方程
2. 已知坐标间的方程, 研究方程表示的曲面形状

空间平面属于第一类, 空间曲面就是此类问题的推广.

常见曲面

球面

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$$

或

$$Ax^2+Ay^2+Az^2+Dx+Ey+Fz+G=0$$

要求 $A\ne0$，配方后半径平方 $R^2=(D^2+E^2+F^2)/(4A^2)-G/A$ 必须为正；等于零是点，小于零为空集。

旋转曲面

圆锥面

$$z^2 = x^2 + y^2$$

旋转单叶双曲面

下面方程须 $a=b>0,c>0$ 才是绕 $z$ 轴的旋转曲面；$a\ne b$ 是一般椭圆截面双曲面。

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$

旋转双叶双曲面

同样取 $a=b>0,c>0$。

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$$

柱面

准线

准线是生成柱面的固定曲线，例如直线、圆、抛物线等。

母线

母线彼此平行于一个固定非零方向，且通过准线上的各点；母线并不是“与准线平行”。

圆柱面

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$

抛物柱面

$$z = Ax^2 + By + C$$

二次曲面

以下参数 $a,b,c$ 取正值；抛物柱面式中取 $A\ne0$，母线方向为 $(0,1,B)$。

椭圆柱面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

椭球面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

单叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$

双叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$$

椭圆抛物面

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$$

双曲抛物面(马鞍面)

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$$