反函数求导法则

定义

如果函数$x=f(y)$在区间$I$内单调可导, 且$f'(y)\neq 0$, 则其反函数$y=f^{-1}(x)$在相应区间内也可导, 且

$$[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}$$

推论

根据这个法则，可推导出反三角函数的导数：
设 $y=\arcsin(x)$ ,则 $x=\sin(y)$, 求$y'$过程如下

$$\big(\arcsin(x)\big)'=\frac{1}{\sin(y)'}=\frac{1}{\cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

同理, 可推导出$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$. 计算时注意下定义域和值域