反三角函数

反三角函数用于由三角比值反求角度。由于三角函数具有周期性，只有先把它限制在单调区间（主值区间）上，才能得到单值的逆映射。

反正弦函数

$y=\arcsin x$ 是 $\sin$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 上的反函数，定义域 $[-1,1]$，值域 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，奇函数、单调递增。

导函数: $$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

反余弦函数

$y=\arccos x$ 是 $\cos$ 在 $[0,\pi]$ 上的反函数，定义域 $[-1,1]$，值域 $[0,\pi]$，单调递减。

导函数: $$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

反正切函数

$y=\arctan x$ 是 $\tan$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 上的反函数，定义域 $\mathbb{R}$，值域 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，奇函数、单调递增，有水平渐近线 $y=\pm\frac{\pi}{2}$。

导函数: $$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$

反余切函数

$y=\operatorname{arccot} x$ 是 $\cot$ 在 $(0,\pi)$ 上的反函数，定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0,\pi)$，单调递减，有水平渐近线 $y=0$ 与 $y=\pi$。恒等式 $\operatorname{arccot} x=\frac{\pi}{2}-\arctan x$。

导函数:$$(\operatorname{arccot} x)'=-\frac{1}{1+x^2}$$

反正割函数

$y=\operatorname{arcsec} x$ 是 $\sec$ 在 $[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]$ 上的反函数，定义域 $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$，值域 $[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]$，有水平渐近线 $y=\frac{\pi}{2}$。恒等式 $\operatorname{arcsec} x=\arccos\frac{1}{x}$。

导函数: $$(\operatorname{arcsec} x)'=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

反余割函数

$y=\operatorname{arccsc} x$ 是 $\csc$ 在 $[-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}]$ 上的反函数，定义域 $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$，值域 $[-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}]$，奇函数，有水平渐近线 $y=0$。恒等式 $\operatorname{arccsc} x=\arcsin\frac{1}{x}$。

导函数: $$(\operatorname{arccsc} x)'=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

常用值

$x$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\arcsin x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos x$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

导数

推导见反函数求导法则。