范畴的定义

微积分中的函数、线性代数中的线性映射、抽象代数中的同态，本质都是"保持结构的映射"。范畴把"对象 + 对象间的映射（态射）+ 映射的复合"抽象成一个整体来研究，从而用统一语言处理所有数学结构——这是范畴论的出发点。

需先掌握集合与映射的基本概念（复合、恒等映射），并了解一个具体代数结构（如群）以体会"结构保持映射"的含义。

定义

一个范畴 $\mathcal{C}$ 由以下数据构成：

1. 一族对象 $\mathrm{ob}(\mathcal{C})$（可以是真类）
2. 对任意对象 $A,B$，一个集合 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$，其元素 $f:A\to B$ 称为从 $A$ 到 $B$ 的态射
3. 对任意 $f:A\to B$ 与 $g:B\to C$，有复合态射 $g\circ f:A\to C$
4. 每个对象 $A$ 有一个恒等态射 $\mathrm{id}_A:A\to A$

满足两条公理：

• 结合律：$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
• 单位律：$f\circ\mathrm{id}_A=f=\mathrm{id}_B\circ f$

对象类为集合时称 $\mathcal{C}$ 为小范畴；每个 $\mathrm{Hom}$ 集都是集合时称局部小范畴。

性质

• 态射不要求是函数：对象可以没有内部元素，只需遵守复合规则
• 范畴 $\mathcal{C}$ 的对偶范畴 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 把一切态射反向，仍是范畴
• 恒等态射唯一：若 $\mathrm{id}'_A$ 也满足单位律，则 $\mathrm{id}'_A=\mathrm{id}'_A\circ\mathrm{id}_A=\mathrm{id}_A$

例子

• 集合范畴：对象为集合，态射为映射
• 群范畴：对象为群，态射为同态
• 更多见范畴的例子

应用

范畴是一切后续概念（函子、自然变换、极限与余极限、阿贝尔范畴）的载体；态射的分类直接建立在本定义之上。