连续函数演算（自伴算子）

"算子的函数"把 $f(A)$ 定义为满足谱映射的 $*$-同态：自伴算子 $A$ 的连续函数演算由谱定理的积分表达式给出，它把实值函数 $f$ 作用在谱 $\sigma(A)$ 上。这是 $C^*$ 代数中连续函数演算的具体实现。前置依赖：谱定理（有界自伴算子）、谱测度。

连续函数演算

设 $A$ 为有界自伴算子。映射

$$f\mapsto f(A)=\int_{\sigma(A)}f(\lambda)\,dE(\lambda)$$

是从 $C(\sigma(A))$ 到 $B(H)$ 的等距 $*$-同态：$(fg)(A)=f(A)g(A)$、$\overline{f}(A)=f(A)^*$、$\lVert f(A)\rVert=\lVert f\rVert_\infty$，且谱映射

$$\sigma(f(A))=f(\sigma(A)).$$

关键结论

• 恒等函数给出 $A$ 本身：$\mathrm{id}(A)=A$；常数函数给出 $\lambda_0(A)=\lambda_0 I$
• 多项式函数就是多项式演算 $p(A)=\sum a_kA^k$
• 若 $A\ge 0$，取 $f(t)=\sqrt t$ 得到平方根 $\sqrt A$（见正算子）
• $f$ 实值当且仅当 $f(A)$ 自伴；$f\ge 0$ 当且仅当 $f(A)\ge 0$

例

• $e^{A}=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}$（有界算子按范数收敛）
• $|A|=\sqrt{A^*A}$ 与正负部 $A_\pm$ 均可用连续函数演算定义
• $e^{-itA}$（$t\in\mathbb{R}$）恒为酉算子，见酉算子

后续

把 $C(\sigma(A))$ 换成有界 Borel 函数即得Borel 函数演算，其值域含谱投影 $E(S)=\mathbf 1_S(A)$；这是 von Neumann 代数理论（测度论与算子结合的起点）的入口。