Gelfand表示

交换巴拿赫代数的抽象结构（乘法、谱、理想）与函数空间之间有一道桥：把每个元素 $a$ 映为特征空间上的函数 $\widehat a(\varphi)=\varphi(a)$。这就是 Gelfand 表示——它把代数同态嵌入连续函数代数，使 Fourier 变换、Gelfand 谱半径公式与谱理论获得统一表达。前置依赖：特征（巴拿赫代数）、交换巴拿赫代数。

Gelfand 表示

设 $A$ 为含单位元的交换巴拿赫代数，$\mathfrak{M}(A)$ 为特征空间。映射

$$\Gamma:A\to C(\mathfrak{M}(A)),\qquad \Gamma(a)(\varphi)=\widehat a(\varphi)=\varphi(a)$$

称为 Gelfand 表示。它是连续代数同态，且 $\lVert\widehat a\rVert_\infty=r(a)$（谱半径，见谱半径公式），$a$ 的谱满足 $\sigma(a)=\widehat a(\mathfrak{M}(A))$。

基本性质

• $\Gamma$ 保持乘法与线性，不增范数：$\lVert\Gamma(a)\rVert_\infty\le\lVert a\rVert$
• 谱保持：$\sigma(a)=\{\widehat a(\varphi):\varphi\in\mathfrak{M}(A)\}$，故谱半径 $r(a)=\lVert\widehat a\rVert_\infty$
• $a$ 可逆 $\iff\widehat a$ 处处非零（谱不含 $0$）
• 核 $\ker\Gamma=\bigcap\ker\varphi$ 是全体极大理想的交，称为根（radical）；$A$ 半单（radical 为零）当且仅当 $\Gamma$ 单射

例子

• $A=C(K)$：$\mathfrak{M}(A)\cong K$，$\Gamma$ 是恒等同构
• $A=\ell^1(\mathbb{Z})$：$\Gamma((a_n))=\sum a_n z^n$（$|z|=1$），即 Fourier 级数，像在 $C(\mathbb{T})$ 中稠
• $A=L^1(\mathbb{R})$：$\Gamma(f)=\widehat f$，即 Fourier 变换（无单位元情形经巴拿赫代数的单位化处理），像在 $C_0(\mathbb{R})$ 中稠

后续

Gelfand 表示把交换谱理论归结为连续函数论：Wiener 定理（$f$ 的 Fourier 级数不取零值则 $1/f$ 的 Fourier 级数绝对收敛）是其经典应用。在带对合的 $C^*$ 代数中 $\Gamma$ 是等距 $*$-同构（Gelfand–Naimark 定理，见C星代数）。