单点紧化

在所有紧化中，单点紧化（Alexandroff 紧化）最经济：只添加一个"无穷远点" $\infty$，把 $\mathbb{R}^n$ 变成 $S^n$。

需先掌握紧化的一般框架与紧致性。

定义

设 $X$ 局部紧 Hausdorff 且非紧。令 $X^*=X\cup\{\infty\}$，其开集为 $X$ 的开集全体，加上补集为 $X$ 中紧集的那些含 $\infty$ 的集合。则 $X^*$ 紧 Hausdorff，$X$ 在其中稠密，$(X^*,X\hookrightarrow X^*)$ 是 $X$ 的紧化。

• $X^*$ 为 Hausdorff 当且仅当 $X$ 局部紧 Hausdorff；紧致空间自身已紧，无需加点

性质

• 最小紧化：对 $X$ 的任何紧化 $K$，存在保持 $X$ 的连续满射 $K\to X^*$（在紧化偏序中 $X^*$ 最小）
• 球极投影下"远离原点"收敛到 $\infty$：$\|x_k\|\to\infty$ 等价于 $x_k\to\infty$

示例

• $\mathbb{R}$ 的单点紧化 $\cong S^1$；$\mathbb{R}^2$ 的单点紧化 $\cong S^2$；一般 $\mathbb{R}^n$ 的单点紧化 $\cong S^n$
• 复平面 $\mathbb{C}$ 的单点紧化 $\cong S^2$，即黎曼球面 $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$，复分析把无穷远点当作普通点处理

应用

单点紧化给出 $S^n$ 与 $\mathbb{R}^n$ 的直观联系（球极投影、莫比乌斯变换的球面解释）；黎曼球面是复分析、代数曲线与分式线性变换的标准舞台。