纽结不变量

如何证明两个纽结不同？需要纽结不变量：在环境同位下保持不变的量。从图论组合（三色性）到上同调与量子群（多项式不变量），它们把几何问题转化为可计算的问题。

需先掌握纽结及其 Reidemeister 移动——任何候选不变量必须先证明在 RI/RII/RIII 下不变。

定义

纽结不变量是纽结等价类上的函数（数、多项式、群等）；不变量值不同 ⇒ 不等价（反之不成立）。由于等价 ⇔ Reidemeister 移动可达，验证不变性只需检查三种移动。

可三色性

用三种颜色给纽结图的每条弧染色：每个交叉处要么三色全同，要么三色全异，且三色都用到了。可三色性在 RI/RII/RIII 下不变。三叶结可三色而平凡结不可，故三叶结非平凡——这是最易验证的新手不变量。

Alexander 多项式

由纽结补空间 $X=S^3\setminus K$ 的无限循环覆盖的同调定义：$\Delta_K(t)\in\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$，满足 $\Delta_K(1)=\pm 1$ 且关于 $t\leftrightarrow t^{-1}$ 对称（至多差一个符号）。三叶结 $\Delta=t-1+t^{-1}$；八字结 $\Delta=t^2-3t+1$。它可区分三叶结与八字结，但不能区分纽结与其镜像。

Jones 多项式

从辫子群与量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ 得到：$V_K(t)\in\mathbb{Z}[t^{1/2},t^{-1/2}]$，满足骨架关系

$$t^{-1}V_{L_+}-tV_{L_-}=(t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0},$$

其中 $L_+,L_-,L_0$ 是局部交叉的三种方式的三个链环。三叶结 $V=t+t^3-t^4$（其镜像为 $t^{-1}+t^{-3}-t^{-4}$，取决于手性约定）。Jones 多项式能区分某些 Alexander 多项式不能区分的纽结，并能探测手性。

应用

不变量用于纽结表的枚举与分类、证明非平凡性，并通向 Vassiliev 有限型不变量与量子拓扑；在 DNA 拓扑与统计力学中有应用。