三维流形与几何化

三维是低维拓扑的"主战场"：二维有曲面分类定理的完整清单，高维被手术理论部分掌控，而三维流形既没有简单枚举、又不能套用高维手术——Thurston 的几何化猜想（Perelman 已证）给出了三维闭流形的完整结构描述。

需先掌握拓扑流形、基本群与覆盖空间（万有覆盖与基本群子群的对应）。

素分解

三维闭流形可沿嵌入球面 $S^2$ 做连通和分解：$M=M_1\#\cdots\#M_k$，每个 $M_i$ 为素流形（不能继续分解）。Milnor 证明分解有限且唯一（同胚意义下）。这与曲面分类定理的连通和类似，但素流形仍有无穷多种。

Seifert 纤维空间

Seifert 纤维空间是 $S^1$-纤维化（允许少量奇异纤维）的三维流形，是几何化中最基本的构件；透镜空间与许多纽结补空间都是其特例。

几何化猜想

每个可定向闭三维流形可唯一地分解为若干块，每块配有八种 Thurston 几何之一：球面、欧氏、双曲、$S^2\times\mathbb{R}$、$H^2\times\mathbb{R}$、$\widetilde{SL}_2\mathbb{R}$、Nil、Sol。双曲几何的情形最重要：绝大多数素三维流形配双曲结构。

推论（Poincaré 猜想）：单连通的三维闭流形同胚于 $S^3$。这是几何化中球面几何情形的直接结论，由 Perelman 于 2003 年证明（Clay 千禧年问题之一）。

应用

几何化把三维拓扑转化为几何分类问题，直接影响纽结理论（纽结补空间何时双曲、Dehn 手术得到哪些流形，见手术理论）；它与基本群的联系（Mostow 刚性定理使双曲流形的基本群成为几何的完全不变量）把几何与代数结合起来。