纽结

纽结理论研究"一根绳子如何打结"的数学化：一条闭曲线嵌入三维空间 $S^3$ 中，能否通过连续形变解开。它是拓扑流形理论在三维的具体问题，答案依赖基本群等代数不变量。

需先掌握拓扑流形（$S^3$ 是三维闭流形）与连续映射与同胚，了解基本群作为空间不变量。

定义

纽结是嵌入 $S^3$（或 $\mathbb{R}^3$）的圆 $S^1$ 的像 $K$。多个互不相交的纽结组成链环（link），单分量链环即纽结。两个纽结 $K_1,K_2$ 等价（同痕）若存在环境同位把 $K_1$ 映到 $K_2$。

Reidemeister 移动

两个纽结图等价当且仅当可通过有限次 Reidemeister 移动互相转化：

• RI：消除或添加一个打卷（扭结）；
• RII：两条弦的重叠（增加或减少两个交叉）；
• RIII：三条弦的"三角"移动。

这三类移动保持纽结图的投影信息，把纽结问题化为组合问题。

性质与例子

• 平凡结（unknot）是 $S^3$ 中标准的嵌入圆；三叶结（trefoil）与八字结（figure-eight）都是非平凡纽结
• 三叶结与其镜像不等价（手性）；八字结与其镜像等价（非手性）
• 纽结的连通和 $K_1\#K_2$：沿一段弧剪开再对粘。平凡结是单位元；每个纽结可唯一分解为素纽结的连通和（素分解定理）

应用

纽结出现在纽结不变量（三色性、Alexander/Jones 多项式）、环绕数（链环的缠绕度量）与三维流形与几何化（纽结补空间 $S^3\setminus K$ 与 Dehn 手术）中；在 DNA 拓扑与统计力学中也有应用。