谱几何

研究黎曼流形上 Laplace 算子特征值如何反映几何。谱携带长度、体积与曲率的信息，经典问题"能否听出鼓的形状"即等谱问题。

需先掌握黎曼流形与黎曼度量；曲率量见数量曲率。

Laplace–Beltrami 算子

度量 $g$ 上的 Laplace 算子

$$\Delta_g f=-\frac{1}{\sqrt{\det g}}\,\partial_i\!\left(\sqrt{\det g}\,g^{ij}\partial_j f\right)$$

是自伴算子；紧流形上特征值 $0=\lambda_0<\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\to\infty$。

主要结果

• Weyl 渐近公式：$\lambda_k\sim\dfrac{(2\pi)^2k^{2/n}}{(\omega_n\operatorname{Vol}(M))^{2/n}}$，谱确定体积
• 谱的精细渐近展开首项由数量曲率的积分给出
• 等谱问题：存在等谱但不等距的鼓（Milnor、Gordon–Webb–Wolpert 反例）

应用

谱几何联系黎曼几何与偏微分方程：特征值估计（如 Yang–Yau 不等式）依赖比较定理；热核方法用于指标定理，算术曲面的谱则与数论中的模形式密切相关。