等周不等式

在给定周长下圆使面积最大：面积与周长的比值受曲率约束。等周不等式把曲率下界与流形整体的"展开程度"联系起来。

需先掌握黎曼度量与测地线；曲率背景见数量曲率。

经典形式

平面中封闭曲线围成面积 $A$、周长 $L$ 满足

$$4\pi A\le L^2$$

等号当且仅当为圆。

流形上的推广

• 正曲率（球面）：Levy–Gromov 等周不等式，用球面模型空间的体积增长作上界
• 负曲率（双曲空间）：等周常数更大，边界体积增长更快
• 在极小曲面理论中，等周不等式控制曲面面积与边界长度的关系

应用

等周不等式是几何分析的基础工具：用于 Sobolev 嵌入、谱几何的特征值下界、Ricci 流中的面积控制以及离散几何（图上的等周不等式）。