比较定理

把曲率大小"翻译"成几何量的比较：截面曲率有界的流形，其测地线汇聚、距离与体积与对应常曲率模型空间相比较。比较定理是连接局部曲率与全局结构的核心工具。

需先掌握截面曲率、测地线方程与常曲率空间。

主要定理

• Bonnet–Myers：若 $K\ge k>0$，则完备流形直径 $\le \pi/\sqrt{k}$，基本群有限
• Hadamard–Cartan：若 $K\le 0$，则完备单连通流形与 $\mathbb{R}^n$ 微分同胚，指数映射为覆盖映射
• Rauch 比较定理：曲率越大的流形，测地线比模型空间"汇聚得越快"
• Toponogov 三角形比较：把曲率下界转化为三角形边长与角度的比较

应用

比较定理用于证明球定理（近 1/4 正曲率流形同胚于球面）、Soul 定理与 Gromov 体积理论；也是谱几何特征值估计与测地线偏差方程分析的基本工具。