可测函数的定义

可测函数是使可测集的原像仍可测的函数，是测度空间上定义Lebesgue 积分的对象。

定义

设 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 为测度空间，函数 $f: X \to \mathbb{R}$（可取值 $\pm\infty$）。若对任意实数 $c$，

$$\{x \in X : f(x) > c\} \in \mathcal{A}$$

则称 $f$ 为 $\mathcal{A}$-可测函数。

等价条件

下列条件等价：

1. $\{f > c\} \in \mathcal{A}$ 对任意 $c$；
2. $\{f \ge c\} \in \mathcal{A}$ 对任意 $c$；
3. $\{f < c\} \in \mathcal{A}$ 对任意 $c$；
4. 任意 Borel 集的原像可测。

性质

• 可测函数的线性组合、乘积（几乎处处有限时）可测。
• 可测函数列的逐点上（下）确界、上（下）极限可测。
• 连续函数（在 $\mathbb{R}^n$ 的 Lebesgue 测度下）可测。
• 可测函数类构成Lebesgue 积分与$L^p$ 空间的讨论对象。